在牛顿的理论体系中，存在一个似乎理所当然的假设：用相同的实验装置对同一个可观测量进行多次测量，每次测量结果都是一样的。可是单电子双缝实验告诉我们，每次结果是不一样的。在大量重复测量过程中，我们不仅可以获得许多可观测量的本征值（一般是一个实数），还可以获得每个本征值出现的概率。不同本征值之间彼此独立，因此如果每个本征值对应一条数轴，相应概率用数轴上的一个点表示，所有数轴相互正交构成了一个n维空间，可观测量的状态就可以用这个空间中的一个向量表示，这个数学空间就是大名鼎鼎的希尔伯特空间。

希尔伯特在研究积分方程的过程中引入了这个后来被称为希尔伯特空间的数学空间，这一概念的引入为数学和物理学提供了一个极好的平台，产生了一系列深远的影响。

希尔伯特空间可以看作欧几里得空间的一种推广，它一般是无限维的，也可以是有限维。希尔伯特空间中的元素被称为向量，实际上这类向量既可以包括由一些元素组成的传统向量，也可以认为是某个函数。希尔伯特证明平方可和数列空间与平方可积函数空间是同构的，它们都是希尔伯特空间的不同形式。在这个空间中定义了距离和角度，因此也存在极为重要的正交概念，也就是说，希尔伯特空间存在一系列（甚至是无穷的）相互正交的基向量，其中的任何一个元素都可以用这组基向量线性展开。这样，当一个函数进行傅里叶分解时，相当于希尔伯特空间中的基向量是正交的三角函数系，而每一项三角函数的系数就是函数在这个基上的投影坐标，所有这些投影坐标包含了函数的全部信息，是这个函数的另一种表达方式。由此可见，傅里叶分析是希尔伯特空间理论的特例，当基向量不仅限于三角函数系时，一个函数就可以有更多的表达方式，也就是说，每一组相互正交的希尔伯特空间的基向量都对应一个新的世界，一个函数的一切信息都可以在这个新世界中找到对应。

薛定谔论文的题目是：量子化就是本征值问题，可谓一语道破天机。将一个函数转换为另一个函数的映射我们称为算符，而力学量就是希尔伯特空间中的算符，通过求解算符的本征方程，就可以得到与算符对应的本征值和本征函数系，而这组本征函数系就是这个希尔伯特空间的基向量。本征方程为我们提供了一种计算希尔伯特空间基向量的方法，而希尔伯特空间中的任意函数就是描述物理系统的波函数。在所有力学量中，描述能量的哈密顿量是最常用和最重要的。在一个物理体系中，每一种具体形式的势能函数都对应一种哈密顿量，同时解出相应的本征函数系和能量本征值，而大多数的量子问题就是求解某个具体形式的哈密顿量的本征方程。当物理体系的哈密顿量具有某种对称性时，表明它在某种变换下具有不变的性质，这个特征导致不同的本征函数对应一个相同的本征值，也就是产生了本征值的简并。此时，与该本征值对应的所有本征函数构成一个希尔伯特子空间，这样的子空间一般是有限维的。从以上讨论我们看到希尔伯特空间的两个特点：希尔伯特空间很大，希尔伯特空间很多。

希尔伯特空间构成现实世界的完美镜像，而且在不同空间中，这个镜像是不同的。如同在傅里叶分析中的那样，当我们把三维的欧几里得空间加一维时间看作现实世界时，傅里叶变换把这个现实世界的一切转换到频域之中，形成一个镜像世界，镜像世界包含了现实世界一切信息，而且分析某些问题变得比在现实世界中更容易。我们发现，傅里叶镜像世界中的一个点居然对应现实世界的一个波，让我们拥有了波粒二象性的概念。而这个傅里叶镜像世界仅仅是一个特殊的希尔伯特空间，这让我们对其它的希尔伯特镜像世界产生了兴趣，我们想知道现实世界在这些新世界中是什么样子。这实际上就是量子论中的表象理论，波函数既可以是在坐标表象内，是坐标的函数，也可以是动量表象内关于动量的函数，它们之间存在表象变换关系，也就是傅里叶变换。那么在希尔伯特空间中，任意表象里，波函数是谁的函数呢？答案是量子数，从傅里叶的镜子中我们看到了波，而在希尔伯特的镜子里，我们看到了量子化。狄拉克在他的符号法中引入了描述波函数的符号，可以方便的进行表象变换。而表象变换实际上就是同一个物理系统在不同的希尔伯特空间中的表示。

希尔伯特空间为量子理论提供了天然的表述平台，作为量子论基础的波函数，可以看作该空间中的一个向量，单个粒子在三维现实空间的波函数容易给人造成一种错觉，就是认为波函数是三维空间中的波，因此容易推论出两个电子组成的系统也是三维空间中的波，而实际上，两个电子是六维的位形空间中的波，因此波函数是一个抽象概念，而不是真实空间的波。一个物理系统是用波函数描述的，而波函数的描述方式则是不唯一的，处于理论核心地位的波函数概念只能在一个抽象空间中想象，因此它更像一种计算工具，我们需要做的是将数学计算方法与物理的可观测量联系起来。我们能够观测的一般是力学量的本征值以及在测量过程中力学量取某个本征值的概率，这个概率可以用波函数与希尔伯特空间的某个基向量做内积运算得到。同时，我们还可以得到某些新的可观测量，物理系统随时间的演化相当于希尔伯特空间中的一个点在运动，而一般描述量子系统的空间是复数空间，因此我们有可能观测到两个时刻对应的波函数的相位差，波函数的相位差可以在干涉效应中被观测到，这体现在波函数的复数性质上。

在描述两个系统组成的复合系统时，希尔伯特空间概念也起到了重要的作用。两个子系统构成的整体所在的希尔伯特空间是两个子系统对应的希尔伯特空间的直积，而整体的波函数由于两子系统之间的相互作用，一般不能分解为这两个子空间中波函数的直积形式，因此形成了具有整体性质的纠缠状态。作为可以描述任意形式量子态的希尔伯特空间，成为分析量子现象的强大工具，其优美的数学结构也给人留下了深刻的印象。

我们还可以推广希尔伯特空间的概念，例如，在一个广义希尔伯特空间中，相互正交的那些数轴对应的可观测量本征值可以不是实数，而是任意的数据类型，例如复数、四元数、矩阵，甚至文字、图像等等。我们每个人都在现实世界与网络世界中留下了大量痕迹，这些数据其实都是一些可观测、可区分的概念，例如某人在搜索引擎的搜索框中留下了大量的关键词，每个词语都可以通过标准语料库的方式转换成一个概率，而且也可以统计某个人输入的每个词语出现的频率，甚至统计某个人喜欢在网络上点击什么内容。而所有这些数据对应的相互正交的数轴，构成了这个人的知识结构，也张成了一个广义希尔伯特空间，一个人产生的所有数据在这个抽象的数学空间中合成了一个向量。这样，当两个人对应的向量夹角很小时，彼此可能很容易成为朋友或知音，而如果两个人对应的向量夹角很大时，则很可能水火不容。依据这样的思路，我们甚至可以研发一些有意义的应用，帮助我们在茫茫人海中找到知音。